Một hình tứ diện đều cạnh $a$ có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón tròn xoay còn ba đỉnh còn lại của tứ diện nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón là

Chọn A.
Tứ diện đều $ABCD$ có đỉnh $A$ là đỉnh hình nón, các đỉnh $B,C,D$ thuộc đường tròn đáy.
Tam giác $BCD$ là tam giác đều cạnh $a$ nên bán kính đường tròn đáy của hình nón là $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Độ dài đường sinh của hình nón là $l=AB=a$.
Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq}=\pi Rl=\pi \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot a=\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{3}$.