Một khoản tiền cứu trợ trị giá 6 tỷ đồng được giải ngân cho một vùng bị thiệt hại do lũ lụt trong vòng 30 ngày. Gọi $t$ (ngày) là thời gian tính từ lúc bắt đầu giải ngân, với $0\le t\le 30$. Gọi $M(t)$ (triệu đồng) là số tiền còn lại chưa giải ngân tại thời điểm $t$. Biết rằng tốc độ giải ngân $M^{\prime }(t)$ tỉ lệ thuận với bình phương của $(30-t)$ với hệ số tỉ lệ $k$ $(k\ne 0)$. Đồng thời, toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân hết sau 30 ngày.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M^{\prime }(t)=k(30-t{)}^2$ (đúng theo đề, mệnh đề d đúng). Nguyên hàm: $M(t)=k\left(900t-30t^2+\frac{t^3}{3}\right)+C$, nên mệnh đề b sai vì thiếu hệ số $\frac{1}{3}$ trước $t^3$. Điều kiện $M(0)=6000$ (6 tỷ = 6000 triệu) cho $C=6000$; điều kiện $M(30)=0$: $M(30)=6000+k(27000-27000+9000)=6000+9000k=0\Rightarrow k=-\frac{2}{3}$, nên mệnh đề c sai ($k=-\frac{2}{3}$, không phải $\frac{2}{3}$). Vậy $M(t)=6000-\frac{2}{3}\left(900t-30t^2+\frac{t^3}{3}\right)$. Tại $t=15$: $M(15)=6000-\frac{2}{3}(13500-6750+1125)=6000-\frac{2}{3}\cdot 7875=6000-5250=750$ triệu đồng, mệnh đề a đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $k=-\frac{2}{3}$, $M(15)=6000-\frac{2}{3}(13500-6750+1125)=6000-5250=750$ triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $(30-t{)}^2$ là $-(30-t{)}^3/3=900t-30t^2+\frac{t^3}{3}$, công thức đúng phải có $\frac{t^3}{3}$ chứ không phải $t^3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $M(0)=6000$ và $M(30)=0$ suy ra $6000+9000k=0\Rightarrow k=-\frac{2}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đề bài cho tốc độ giải ngân tỉ lệ thuận với $(30-t{)}^2$ với hệ số $k$, tức $M^{\prime }(t)=k(30-t{)}^2$.