Một nhóm 10 học sinh gồm 6 nam và 4 nữ.
a) Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh trên vào 10 ghế trên một hàng ngang sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam.
b) Trong 6 học sinh nam có bạn Quang và trong 4 học sinh nữ có bạn Huyền. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Tính xác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền.

a) Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10.

Để có cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số $1,4,7,10$. Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là: $6!\cdot 4!$ cách.

b) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10!$

Số cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam là $6!\cdot 4!$ cách.

Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau.

Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì có 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế 4 hoặc 7 thì có 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang.

Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $2+2\cdot 2=6$.

Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $6\cdot 3!\cdot 5!$.

Gọi A: "Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền".

Ta có: $n(A)=4!\cdot 6!-6\cdot 3!\cdot 5!=12960$.

$$\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{12960}{10!}=\frac{1}{280}.$$

(Điểm: 0,5 + 0,5)