Một xưởng sản xuất nước mắm, mỗi lít nước mắm loại $I$ cần $3kg$ cá và 2 giờ công lao động, đem lại mức lãi là 50000 đồng; mỗi lít nước mắm loại II cần $2kg$ cá và 3 giờ công lao động, đem lại mức lãi là 40000 đồng. Xưởng có $230kg$ cá và cần làm việc trong 220 giờ. Hỏi xưởng đó nên sản xuất mỗi loại nước mắm bao nhiêu lít để có mức lãi cao nhất?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (lít) lần lượt là số lít nước mắm loại I và loại II cần sản xuất ($x\ge 0,y\ge 0$).

Ràng buộc:
- Cá: $3x+2y\le 230$
- Công lao động: $2x+3y\le 220$
- $x\ge 0,y\ge 0$

Hàm mục tiêu (lãi): $P=50000x+40000y$ (đồng), cần tìm giá trị lớn nhất.

Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh:
- $O(0;0)$
- $A\left(\frac{230}{3};0\right)$
- $B(0;\frac{220}{3})$
- $C$: giao của $3x+2y=230$ và $2x+3y=220$. Nhân phương trình thứ nhất với 3, thứ hai với 2: $9x+6y=690$ và $4x+6y=440$, trừ lại $5x=250\Rightarrow x=50$, suy ra $y=\frac{220-100}{3}=40$. Vậy $C(50;40)$.

Tính $P$ tại các đỉnh:
- $P(O)=0$
- $P(A)=50000\cdot \frac{230}{3}\approx 3833333$ đồng
- $P(B)=40000\cdot \frac{220}{3}\approx 2933333$ đồng
- $P(C)=50000\cdot 50+40000\cdot 40=2500000+1600000=4100000$ đồng

Vậy lãi lớn nhất là $4100000$ đồng, đạt khi sản xuất $50$ lít nước mắm loại I và $40$ lít nước mắm loại II. Kiểm tra: cá dùng $3\cdot 50+2\cdot 40=230\le 230$ (đủ), giờ công $2\cdot 50+3\cdot 40=220\le 220$ (đủ).