Phương trình $2{\log }_3(\cot x)={\log }_2(\cos x)$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Xét $f(x)=2{\log }_3(\cot x)-{\log }_2(\cos x),x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.
Ta có $f^{\prime }(x)=2\cdot \frac{-\frac{1}{{\sin }^{2}x}}{\cot x\ln 3}-\frac{-\sin x}{\cos x\ln 2}$ (trên $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$, $\cot x$ nghịch biến từ $+\infty$ về $0$ còn $\cos x$ nghịch biến, phương trình $f(x)=0$ có duy nhất $1$ nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$).
Chọn D.