Phương trình $4^x-2(m+1)\cdot 2^x+3m-8=0$ có hai nghiệm trái dấu khi $m\in (a;b)$. Giá trị của $P=b-a$ là

Đặt $t=2^x$, ta có phương trình $t^2-2(m+1)t+3m-8=0$ (1).
Với $x_1<0<x_2$ thì $0<2^{x_1}<1<2^{x_2}$, nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu $x_1,x_2$ khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm $0<t_1<1<t_2$.
Ta có $(1)\iff t^2-2t-8=m(2t-3)$ (2).
Vì $t=\frac{3}{2}$ không là nghiệm phương trình (2) nên $(2)\iff \frac{t^2-2t-8}{2t-3}=m$ (3).
Xét hàm số $f(t)=\frac{t^2-2t-8}{2t-3}$ với $0<t\ne \frac{3}{2}$. Ta có $f^{\prime }(t)=\frac{2t^2-6t+22}{(2t-3{)}^2}>0$ với $0<t\ne \frac{3}{2}$.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình (3) có hai nghiệm $0<t_1<1<t_2$ khi và chỉ khi $\frac{8}{3}<m<9$.
Như vậy $a=\frac{8}{3},b=9$. Do đó $P=b-a=9-\frac{8}{3}=\frac{19}{3}$.