Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=-x^4+4x^3+mx$ có ba điểm cực trị?

Ta có: $y^{\prime }=-4x^3+12x^2+m$. Xét phương trình $y^{\prime }=0\iff -4x^3+12x^2+m=0\iff m=4x^3-12x^2$ (1).
Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình (1) phải có $3$ nghiệm phân biệt.
Xét hàm số $g(x)=4x^3-12x^2$ có $g^{\prime }(x)=12x^2-24x$. Cho $g^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$.
Bảng biến thiên của $g(x)$:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (1) có $3$ nghiệm phân biệt khi $-16<m<0$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow -15\le m\le -1$. Vậy có $15$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu đề bài.