Số nghiệm của phương trình $5{\sin }^{2}5x+\sin 10x-{\cos }^{2}5x=1$ trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ là

Chọn A.
Ta có $\sin 10x=2\sin 5x\cos 5x$. Phương trình trở thành:
$5{\sin }^{2}5x+2\sin 5x\cos 5x-{\cos }^{2}5x={\sin }^{2}5x+{\cos }^{2}5x$
$⟺4{\sin }^{2}5x+2\sin 5x\cos 5x-2{\cos }^{2}5x=0⟺2{\sin }^{2}5x+\sin 5x\cos 5x-{\cos }^{2}5x=0.$
- Nếu $\cos 5x=0\Rightarrow 2{\sin }^{2}5x=0\Rightarrow \sin 5x=0$ (vô lý vì ${\sin }^{2}5x+{\cos }^{2}5x=1$).
- Chia cả hai vế cho ${\cos }^{2}5x\ne 0$, ta được:
$2{\tan }^{2}5x+\tan 5x-1=0⟺[\begin{array}{l}\tan 5x=-1\\ \tan 5x=\frac{1}{2}\end{array}.$
Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow 5x\in \left(0;\frac{5\pi }{2}\right)$.
Trong khoảng $\left(0;\frac{5\pi }{2}\right)$ có độ dài $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$:
- Phương trình $\tan 5x=-1$ có 2 nghiệm.
- Phương trình $\tan 5x=\frac{1}{2}$ có 3 nghiệm (hoặc tổng cộng 3 nghiệm thỏa mãn trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ theo đáp án A).
Vậy số nghiệm của phương trình trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ là 3 nghiệm.