Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{4}}(x-1)+{\log }_4(14-2x)\ge 0$ là

Điều kiện xác định:
$\{\begin{array}{l}x-1>0\\ 14-2x>0\end{array}\iff 1<x<7$.

Với điều kiện trên, bất phương trình tương đương:
$-{\log }_4(x-1)+{\log }_4(14-2x)\ge 0\iff {\log }_4(14-2x)\ge {\log }_4(x-1)$
$\iff 14-2x\ge x-1\iff 3x\le 15\iff x\le 5$.

Kết hợp với điều kiện $1<x<7$, ta được $1<x\le 5$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{2;3;4;5\}$.
Vậy bất phương trình có $4$ nghiệm nguyên.