Tam giác ABC có trọng tâm G. Hai trung tuyến BM = 6, CN = 9 và $\widehat{BGC}=120^{\circ }$. Tính độ dài cạnh AB.

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$. Vì $G$ là trọng tâm nên $BG=\frac{2}{3}BM=4$ và $GN=\frac{1}{3}CN=3$.
Ba điểm $C,G,N$ thẳng hàng, $G$ nằm giữa $C$ và $N$ nên $\widehat{BGN}=180^{\circ }-\widehat{BGC}=60^{\circ }$.
Trong tam giác $BGN$: $B{N}^2=B{G}^2+G{N}^2-2\cdot BG\cdot GN\cdot \cos 60^{\circ }=16+9-2\cdot 4\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=13$, suy ra $BN=\sqrt{13}$.
Vậy $AB=2BN=2\sqrt{13}$.
Đáp án: $2\sqrt{13}$.