Tập các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\ln (3x-1)-\frac{m}{x}+2$ đồng biến trên khoảng $(\frac{1}{2};+\infty )$ là

Chọn C.
Xét hàm số $y=\ln (3x-1)-\frac{m}{x}+2$ trên khoảng $(\frac{1}{2};+\infty )$.
Ta có $y^{\prime }=\frac{3}{3x-1}+\frac{m}{x^2}=\frac{3x^2+m(3x-1)}{x^2(3x-1)}$.
Để hàm số đồng biến trên khoảng $(\frac{1}{2};+\infty )$ thì $y^{\prime }\ge 0,\forall x>\frac{1}{2}$.
Vì $x^2(3x-1)>0,\forall x>\frac{1}{2}$ nên điều kiện tương đương với:
$3x^2+m(3x-1)\ge 0,\forall x>\frac{1}{2}\iff m\ge \frac{3x^2}{1-3x},\forall x>\frac{1}{2}$.
Xét hàm số $f(x)=\frac{3x^2}{1-3x}$ trên $[\frac{1}{2};+\infty )$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{6x(1-3x)-3x^2(-3)}{(1-3x{)}^2}=\frac{6x-18x^2+9x^2}{(1-3x{)}^2}=\frac{3x(2-3x)}{(1-3x{)}^2}$.
Cho $f^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{2}{3}\in [\frac{1}{2};+\infty )$.
Bảng biến thiên của $f(x)$ trên $[\frac{1}{2};+\infty )$:
- $f(1/2)=\frac{3(1/4)}{1-3/2}=\frac{3/4}{-1/2}=-\frac{3}{2}=-1.5$.
- $f(2/3)=\frac{3(4/9)}{1-3(2/3)}=\frac{4/3}{-1}=-\frac{4}{3}\approx -1.333$.
- ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$.
Do đó ${\max }_{[1/2;+\infty )}f(x)=f(2/3)=-\frac{4}{3}$.
Vậy $m\ge -\frac{4}{3}$, tức $m\in [-\frac{4}{3};+\infty )$.