Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x+m+(1-x)\sqrt{2x+m}=0$ có $2$ nghiệm phân biệt là nửa khoảng $(a;b]$. Tính $S=a+b$.

Đặt $t=\sqrt{2x+m}\ge 0⟹m=t^2-2x$. Phương trình trở thành $t^2-x+(1-x)t=0⟺(t+1)(t-x)=0⟺t=x$ (vì $t\ge 0$). Khi đó $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2-2x=m\end{array}$. Xét hàm số $g(x)=x^2-2x$ trên $[0;+\infty )$ có đỉnh tại $x=1,g(1)=-1$ và $g(0)=0$. Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\in (-1;0]$, suy ra $a=-1,b=0⟹S=a+b=-1$. Chọn đáp án B.