Tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(3x+1)(x+3)\mathrm{d}x$ bằng

Trong một trò chơi điện tử, hai bạn An và Bình thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. An chạy với vận tốc $v_A(t)=5\sqrt{t}$ (km/h), quãng đường Bình chạy được cho bởi phương trình $S_B(t)=5t-\frac{5}{2\pi }\sin (2\pi t)$ (km) (với $t$ là thời gian tính theo giờ). Cuộc đua kết thúc khi An hoặc Bình chạy được 10 km đầu tiên, khi đó khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Biết ${\int }_0^1{3}^x\cdot 7^{x+1}dx=\frac{a}{\ln b+\ln c}$, trong đó $a,b,c\in \mathbb{N}$ và $b,c$ là số nguyên tố. Khi đó $a-b-c$ bằng

Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như hình vẽ bên. Khí bên trong ống được duy trì ở 150 °C. Biết rằng nhiệt độ $T$ (°C) tại điểm $A$ trên thành ống là hàm số $T(x)$ với $x$ là khoảng cách (cm) từ điểm $A$ đến tâm $O$ của mặt cắt và $T^{\prime }(x)=-\frac{30}{x}$, với $6\le x\le 8$. Hỏi nhiệt độ mặt ngoài của ống bằng bao nhiêu độ? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một bức tường hình chữ nhật $ABCO$ cao $4m$, dài $8m$. Bạn Bình trang trí bức tường bằng cách vẽ đường cong là một đồ thị hàm số bậc ba $y=\frac{1}{35}x(x-2)(x-8)+2$ trong hệ trục tọa độ như hình vẽ bên dưới, mỗi phần sơn một màu, phần phía trên sơn màu xanh da trời và phần phía dưới sơn màu trắng. Mỗi đơn vị trên các trục tương ứng $1m$. Biết 1 hộp sơn sẽ sơn được $4m^2$ tường và cửa hàng chỉ bán cả hộp sơn. Số hộp sơn tối thiểu mà bạn Bình cần mua để sơn phần tường màu xanh da trời là

Câu 1. Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t)=\frac{1}{100}{t}^2+\frac{7}{15}t(m/s)$, trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn 5 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\left(m/s^2\right)$, ($a$ là hằng số). Sau khi xuất phát được 25 giây thì $B$ đuổi kịp $A$. Vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$ bằng bao nhiêu $m/s$?

Cho parabol $(P):y=x^2$ và một đường thẳng $d$ thay đổi cắt $(P)$ tại hai điểm $A$, $B$. Giả sử $A(a;a^2)$ và $B(b;b^2)$ $(b>a)$ sao cho $A{B}^2=2025$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và đường thẳng $d$ bằng $15187,5$. Khi đó $6a+2b$ bằng bao nhiêu?