Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[a,b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ được tính theo công thức

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$ và đồ thị hàm số $y=x-x^2$.

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}$ có dạng:

Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=-1$; $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=5$. Tính $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x-\sin x$.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $f(x)=\frac{1}{2x+1}$; biết $F(0)=2$. Tính $F(1)$.

Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc $v(km/h)$ phụ thuộc vào thời gian $t(h)$ có đồ thị như hình bên dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol có đỉnh $I(3;9)$ và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận tốc là một đường thẳng có hệ số góc bằng $\frac{1}{4}$. Tính quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 6 giờ?

Giá trị của $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin x\mathrm{d}x$ bằng

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{1-2x}$ trên $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;10]$ thỏa mãn $\underset{0}{\overset{10}{\int }}f(x)dx=7$, $\underset{2}{\overset{6}{\int }}f(x)dx=3$. Tính
$$P=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx+\underset{6}{\overset{10}{\int }}f(x)dx.$$

Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-x^3+3x^2-2$, hai trục tọa độ và đường thẳng $x=2$.

Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục $Ox$. Quay hình phẳng $D$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích $V$ được xác định theo công thức

Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3 m. Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $AB=2$ m. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $AB$ tại $A$ là một hình tam giác vuông cong $ACE$ với $AC=4$ m, $CE=3$ m và cạnh cong $AE$ nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí $M$ là trung điểm của $AC$ thì tường cong có độ cao 1 m (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.

Một vật chuyển động trong 5 giờ với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc thời gian $t$ (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2;2)$ với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 5 giờ đó.

Tính thể tích $V$ của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=\pi$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0\le x\le \pi$) là một tam giác đều cạnh $2\sqrt{\sin x}$.

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=3$, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0\le x\le 3$) là một hình chữ nhật có hai kích thước là $x$ và $2\sqrt{9-x^2}$.

Một hình cầu có bán kính $6dm$, người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ).

Tính thể tích $V$ mà chiếc lu chứa được biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu $4dm$.

Tính thể tích khối tròn xoay (phần tô đậm) quay quanh trục hoành giới hạn bởi các đường $y=x^2$, $y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$ và trục hoành như hình vẽ.

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-\frac{1}{2}$ và $g(x)=d{x}^2+ex+1$ $(a,b,c,d,e\in \mathbb{R})$. Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $-3$; $-1$; $1$ (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng

Cho đồ thị hàm số $y=x^2-3x+2$ và $y=x-1$ và $S_1;S_2$ là phần diện tích phần được tô như trong hình dưới.

Cho hàm số $f(x)=2x-\sin x$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$.

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian $t(\text{s})$ là $a(t)=2t-7\left({\text{m/s}}^2\right)$. Biết vận tốc đầu bằng $6\left(\text{m/s}\right)$, xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2+2x+m& \text{khi }x\ge 1\\ 5-2x& \text{khi }x<1\end{array}$ ($m$ là tham số thực) liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $f(x)$ có nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ là $F(x)$ thỏa mãn $F(-2)=-10$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\left[-3;3\right]$ có đồ thị như hình vẽ, Biết rằng $f(x)$ tạo với trục hoành và 2 đường thẳng $x=-3,x=3$ một hình phẳng $(H)$ gồm 2 phần có diện tích lần lượt là $S_1,S_2$.



Xét tính đúng, sai của 4 mệnh đề sau:

Nếu $F^{\prime }(x)=\frac{1}{2x}$ và $F(1)=1$ thì giá trị của $F(4)$ bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ 2.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;2]$. Giả sử $y=F(x)$ là một nguyên hàm của $y=f(x)$ và $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=3$ và $F(0)=2$. Giá trị $F(2)$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Giả sử $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=6$ và $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=8$. Giá trị $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ bằng bao nhiêu?

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y=3x+x^2$, $y=0;x=0;x=3$ quanh trục $Ox$ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Khối chỏm cầu có bán kính $R=3$ và chiều cao $h=\frac{3}{2}$ sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y=\sqrt{9-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=\frac{3}{2}$, $x=3$ xung quanh trục $Ox$. Tính thể tích khối chỏm cầu này (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.



Chiều dài của đường hầm mô hình là $5\mathrm{cm}$, mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm tạo được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức $y=3-\frac{2}{5}x$ (đơn vị là $\mathrm{cm}$), với $x$ là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Cho một cái cốc thủy tinh hình trụ bán kính đáy là $6\mathrm{cm}$, chiều cao là $10\mathrm{cm}$ đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;0;0),B(0;4;0),C(0;0;5)$. Tọa độ nào sau đây là tọa độ vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(ABC)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $-2x+2y-z-3=0$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình $\frac{x}{4}+\frac{y}{6}+\frac{z}{2}-1=0$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến là?

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0$ đi qua điểm nào dưới đây:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+y-2z+4=0$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với $(P)$?

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ $M(1;2;-3)$ đến $(P):x+2y+2z-10=0$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;4;1),B(-1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):x-3y+2z-5=0$. Lập phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;-2;-2),B(3;2;0),C(0;2;1)$. Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là

Cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=-1\\ z=3t\end{array}(t\in \mathbb{R})$. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của $\Delta$?

Trong không gian $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A(2;0;-1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):2x-y+z+3=0$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=1+3t\\ z=2t\end{array}$, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $\Delta$?

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\{\begin{array}{l}x=5-2t\\ y=5+3t\\ z=2t\end{array}$, ${\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z-6}{4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=6+5t\\ y=2+t\\ z=1\end{array}$ và mặt phẳng $(P):3x-2y+1=0$. Góc hợp bởi giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $M(1;0;0)$, $N(0;1;0)$ và $P(0;0;1)$. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(MNP)$ và mặt phẳng $(Oxy)$ bằng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, chiều cao bằng $2a$ và O là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ bên dưới, khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và $SA\perp (ABCD)$. Cho biết $AB=2a$, $AD=3a$ và $SA=2a$. Cosin góc giữa hai đường thẳng SC và BD bằng

Trong không gian Oxyz, với mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí $A(0;10;0)$ với vận tốc $\vec{v}=(150;150;40)$. Tính góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường bằng và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-4{)}^2+(z-1{)}^2=25$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-6x+4y-8z+4=0$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z-3=0$ và một điểm $M(4;2;-2)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Điều kiện để phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu?

Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của mặt cầu tâm $I(-1;2;-3)$ và đi qua điểm $M(0;3;2)$

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị của các trục tọa độ là kilomet), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt tại điểm $I(-6;-1;4)$. Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là $2km$. Người sử dụng điện thoại đứng ở điểm nào sau đây thì sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(3;4;2)$. Phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với trục $Oz$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho $(S):x^2+y^2+z^2-4x-2y+10z-14=0$. Mặt phẳng $(P):-x+4z+5=0$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn $(C)$. Tọa độ tâm $H$ của $(C)$ là

Trong không gian $Oxyz$, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí $A(3;0;0)$. Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 5. Hỏi vị trí của điểm nào sau đây không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;0);B(4;1;2)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $M(-2;-4;3)$ và $(P):2x-y+2z-3=0$, $(Q):2x-y+2z-6=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các đường thẳng ${\Delta }_1:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2-3t(t\in \mathbb{R})\\ z=3+4t\end{array}$, ${\Delta }_2:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-3}=\frac{z+3}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+3y-2z+1=0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(2;-2;1)$ với tốc độ là 4,5 m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$ và $C(0;0;3)$. Khi đó