Cho hình phẳng $(\mathrm{H})$ giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=x^3-3x-4$ và $y=x-4$ quay $(\mathrm{H})$ quanh trục hoành. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x-4=x-4\iff x^3-4x=0\iff x=0,x=\pm 2$. Trên $(-2;0)$: $x^3-3x-4>x-4$ (ví dụ $x=-1$: $-2>-5$); trên $(0;2)$: $x^3-3x-4<x-4$ (ví dụ $x=1$: $-6<-3$).

a) Sai: trên $(0;2)$ hiệu $(x^3-3x-4)-(x-4)<0$ nên công thức diện tích phải lấy giá trị tuyệt đối: $S={\int }_{-2}^2\left|(x^3-3x-4)-(x-4)\right|dx$.

b) Sai: thể tích đúng là $V=\pi {\int }_{-2}^2\left|(x^3-3x-4{)}^2-(x-4{)}^2\right|dx$; mệnh đề thiếu hệ số $\pi$.

c) Đúng: $S={\int }_{-2}^0(x^3-4x)dx+{\int }_0^2(4x-x^3)dx$. Tính: ${\int }_{-2}^0(x^3-4x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-2x^2\right]}_{-2}^0=0-(4-8)=4$; ${\int }_0^2(4x-x^3)dx={\left[2x^2-\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=8-4=4$. Vậy $S=8$.

d) Đúng: $(x^3-3x-4{)}^2-(x-4{)}^2=(x^3-4x)(x^3-2x-8)$. Trên $(-2;0)$: $x^3-4x>0$, $x^3-2x-8<0$ nên tích âm; trên $(0;2)$: $x^3-4x<0$, $x^3-2x-8<0$ nên tích dương. Nguyên hàm $F(x)=\frac{x^7}{7}-\frac{6x^5}{5}-2x^4+\frac{8x^3}{3}+16x^2$. ${\int }_{-2}^0(f^2-g^2)dx=-F(-2)=-\frac{3232}{105}$; ${\int }_0^2(f^2-g^2)dx=F(2)=\frac{3488}{105}$. Vậy $V=\pi \left(\frac{3232}{105}+\frac{3488}{105}\right)=\pi \cdot \frac{6720}{105}=64\pi$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;2)$ thì $x^3-3x-4<x-4$ nên phải lấy giá trị tuyệt đối của hiệu hai hàm số.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thiếu hệ số $\pi$: công thức đúng là $V=\pi {\int }_{-2}^2\left|(x^3-3x-4{)}^2-(x-4{)}^2\right|dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_{-2}^0(x^3-4x)dx+{\int }_0^2(4x-x^3)dx=4+4=8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi \left(\frac{3232}{105}+\frac{3488}{105}\right)=64\pi$.