Trong không gian $Oxyz$, cho $(S):x^2+y^2+z^2-4x-2y+10z-14=0$. Mặt phẳng $(P):-x+4z+5=0$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn $(C)$. Tọa độ tâm $H$ của $(C)$ là

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;-5)$, $R^2=4+1+25+14=44$. Tâm $H$ của đường tròn $(C)$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc $(P)$ có phương trình: $$\begin{gathered} x=2-t,{ \\ }_y=1,{ \\ }_z=-5+4t \end{gathered}$$. Thay vào $-x+4z+5=0$: $$\begin{gathered} -(2-t)+4(-5+4t)+5=0 \\ Rightarrow17t-17=0 \\ Rightarrowt=1 \end{gathered}$$. Suy ra $H(1;1;-1)$. Kiểm tra: $$\begin{gathered} d(I,(P))= \\ dfrac|-2-20+5| \\ sqrt17= \\ sqrt17< \\ sqrt44 \end{gathered}$$, nên $(P)$ cắt $(S)$ theo đường tròn, hợp lệ.