Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{-3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}$, $(P):x+2y-2z-2=0$, $(Q):x+2y-2z+4=0$. Gọi mặt cầu $S(I,R)$ có tâm $I$ thuộc $\Delta$ và tiếp xúc với $(P),(Q)$. Khi đó đường kính của mặt cầu có giá trị bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
(P) và (Q) song song, cùng pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;-2)$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng: $d=\frac{|4-(-2)|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{6}{3}=2$. Mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng nên bán kính $R=d/2=1$, đường kính $2R=2$. Kiểm tra tồn tại tâm $I\in \Delta$: $I$ phải nằm trên mặt phẳng trung gian $x+2y-2z+1=0$. Tham số hóa $\Delta$: $x=2-3t,y=1+2t,z=1+2t$. Thay vào: $(2-3t)+2(1+2t)-2(1+2t)+1=3-3t=0\Rightarrow t=1$, tức $I=(-1;3;3)\in \Delta$. Khi đó $d(I,(P))=\frac{|-1+6-6-2|}{3}=1=R$ và $d(I,(Q))=\frac{|-1+6-6+4|}{3}=1=R$, thỏa mãn. Vậy đường kính mặt cầu bằng 2.