Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;4;1),B(-1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):x-3y+2z-5=0$. Lập phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;2)$ và pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=(1;-3;2)$. Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A,B$ nên pháp tuyến của nó vuông góc với $\overrightarrow{AB}$; $(Q)\perp (P)$ nên pháp tuyến của $(Q)$ vuông góc với $\overrightarrow{n_P}$. Do đó $\overrightarrow{n_Q}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{n_P}=(0;8;12)\parallel (0;2;3)$. Mặt phẳng qua $A(2;4;1)$: $0(x-2)+2(y-4)+3(z-1)=0\iff 2y+3z-11=0$. Kiểm tra: $B(-1;1;3)$: $2\cdot 1+3\cdot 3-11=0$ ✓; $\overrightarrow{n_Q}\cdot \overrightarrow{n_P}=0-6+6=0$ ✓ nên $(Q)\perp (P)$. Vậy đáp án A.