Tích phân ${\int }_{-3}^1(2x-5)\mathrm{d}x$ bằng

Một chiếc thùng đựng rượu vang như hình vẽ bên được ghép bởi các thanh gỗ uốn cong có dạng là một parabol và được buộc chắc bằng các đai thép hình tròn. Biết hai đáy của thùng rượu là hình tròn có bán kính bằng $30\text{ cm}$, chiều cao của thùng rượu là $1\text{ m}$, thiết diện chính giữa thùng song song với hai đáy là hình tròn có bán kính $40\text{ cm}$. Hỏi thùng rượu chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu (làm tròn đến hàng đơn vị lít).

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=\sqrt{4x-x^2}$ và $y=0$ quanh trục $Ox$ bằng

Cho ${\int }_0^1\frac{2x^2+3x}{x^2+3x+2}dx=a+b\ln 2+x\ln 3$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Tổng $a+b+c$ bằng

Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2+2x+1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1$; $x=3$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;2]$, $f(1)=1$ và $f(2)=2$. Tính $I={\int }_1^2{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$.

Đặt $I={\int }_0^1\frac{(2x+1)e^x+2a{x}^2+a}{e^x+ax}\mathrm{d}x$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ thuộc khoảng $(0;2023)$ để $I>6$?