Tìm hệ số của $x^{10}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left(2+x+2x^2+x^3\right)}^5$.

Ta có: $${\left(2+x+2x^2+x^3\right)}^5={\left[(2+x)+x^2(2+x)\right]}^5={\left[(2+x)\cdot \left(1+x^2\right)\right]}^5=(2+x{)}^5\cdot {\left(1+x^2\right)}^5$$ Xét khai triển $(2+x{)}^5\cdot {\left(1+x^2\right)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k{2}^{5-k}{x}^k\cdot {\sum }_{l=0}^5{C}_5^l{x}^{2l}$. (Điểm: 0,25) Kết hợp với điều kiện, ta có hệ: $$\{\begin{array}{l}k=10-2l\\ 0\le k\le 5,k\in N\iff (k,l)\in \{(0;5),(2;4),(4;3)\}.\\ 0\le l\le 5,l\in N\end{array}$$ Vậy hệ số của $x^{10}$ bằng tổng các $C_5^k\cdot C_5^l$ thỏa mãn: $$C_5^0\cdot 2^5\cdot C_5^5+C_5^2\cdot 2^3\cdot C_5^4+C_5^4\cdot 2\cdot C_5^3=532.$$ (Điểm: 0,25)