Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cot x$.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Họ các nguyên hàm của hàm số $f\left(\frac{x}{2}\right)$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thoả $f^{\prime }(\sin x)=\frac{1}{{\cos }^{3}x},\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ và $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Khi đó, ${\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{5}}f(x)dx$ bằng

Sữa chua là một sản phẩm tốt cho sức khỏe, hỗ trợ tiêu hóa, làm đẹp da. Sữa chua được tạo ra từ sữa nhờ vi khuẩn lên men lactic. Trong dây chuyền sản xuất sữa chua của một nhà máy, công đoạn lên men là công đoạn quyết định chất lượng của sữa chua. Số lượng vi khuẩn lactic trong bồn lên men tại thời điểm $t$ (giờ) được kí hiệu là $N(t)$. Ban đầu ($t=0$ giờ), số lượng vi khuẩn là $N(0)=10$ tỷ tế bào. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi số lượng vi khuẩn $N^{\prime }(t)$ được mô hình hóa bởi công thức $N^{\prime }(t)=10\cdot 2^{2t}$ (tỷ tế bào/giờ) với $t$ là thời gian tính bằng giờ ($0\le t\le 5$). Quá trình lên men kết thúc sau 5 giờ.

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{3x}$ là:

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{3x+1}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0;-1\}$ thỏa mãn $x(x+1)f^{\prime }(x)+f(x)=x^2+x$. Biết $f(1)=-2\ln 2$ và $f(2)=a+b\ln 3(a,b\in \mathbb{Q})$. Giá trị biểu thức $a^2+b^2$ bằng