Tìm số giá trị nguyên của tham số thực $m$ để tồn tại các số thực $x,y$ thỏa mãn $e^{x^2+y^2-m}+e^{x+y+xy-m}=x^2+y^2+x+y+xy-2m+2$.

Đặt $u=x^2+y^2-m$ và $v=x+y+xy-m$. Khi đó phương trình trở thành:
$e^u+e^v=u+v+2\iff (e^u-u-1)+(e^v-v-1)=0$.
Xét hàm số $g(t)=e^t-t-1$ trên $\mathbb{R}$: ta có $g^{\prime }(t)=e^t-1=0\iff t=0$. Vì $g(t)\ge g(0)=0$ với mọi $t\in \mathbb{R}$, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $u=v=0$.
Do đó: $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=m\\ x+y+xy=m\end{array}\Rightarrow x^2+y^2=x+y+xy\iff (x+y{)}^2-2xy=(x+y)+xy\iff (x+y{)}^2=(x+y)+3xy$.
Vì $xy\le \frac{(x+y{)}^2}{4}$ nên $(x+y{)}^2\le (x+y)+\frac{3}{4}(x+y{)}^2\iff \frac{1}{4}(x+y{)}^2-(x+y)\le 0\iff 0\le x+y\le 4$.
Từ đó $m=x+y+xy\le 4+\frac{4^2}{4}=8$, và $m=x^2+y^2\ge 0$. Do đó $0\le m\le 8$. Các giá trị nguyên của $m$ là $\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\}$, gồm có 9 giá trị. Chọn đáp án A.