Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-16}{x-4}& khix>4\\ mx+1& khix\le 4\end{array}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>4$: $f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}=x+4$ (vì $x\ne 4$), là hàm đa thức nên liên tục trên $(4;+\infty )$. Với $x<4$: $f(x)=mx+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $(-\infty ;4)$. Vậy $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f$ liên tục tại $x=4$.
Ta có:
- $f(4)=4m+1$.
- ${\lim }_{x\to 4^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 4^{-}}(mx+1)=4m+1$.
- ${\lim }_{x\to 4^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 4^{+}}(x+4)=8$.
Hàm liên tục tại $x=4$ khi và chỉ khi $4m+1=8\iff m=\frac{7}{4}$.
Vậy $m=\frac{7}{4}$ là giá trị cần tìm.