Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và , lấy điểm .
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp đã cho. Các giao tuyến đó tạo thành hình gì?
b) Gọi . Chứng minh rằng .
Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và , lấy điểm .
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp đã cho. Các giao tuyến đó tạo thành hình gì?
b) Gọi . Chứng minh rằng .
a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp đã cho. Các giao tuyến đó tạo thành hình gì?
b) Gọi . Chứng minh rằng .
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O; M, N là trung điểm của SB, SC; P ∈ SA.
a) Xác định giao tuyến của (MNP) với các mặt của hình chóp:
• Vì M ∈ SB, N ∈ SC nên MN là giao tuyến của (MNP) với mặt (SBC). Tam giác SBC có M, N là trung điểm nên MN ∥ BC; mà BC ∥ AD nên MN ∥ AD, do đó MN ∥ (ABCD) và MN ∥ (SAD).
• Với mặt (SAB): (MNP) ∩ (SAB) = MP (vì M ∈ (SAB), P ∈ (SAB)). Cho đường thẳng MP cắt AB tại E.
• Với mặt đáy (ABCD): vì (MNP) chứa MN ∥ AD nên (MNP) ∥ AD, suy ra giao tuyến của (MNP) với mặt đáy là đường thẳng ℓ đi qua E và song song với AD (tức song song với MN, BC). Trên hình bình hành, ℓ cắt DC tại K (và có thể cắt AD tại L tùy vị trí của P).
• Với mặt (SCD): (MNP) ∩ (SCD) là đường thẳng qua N và K (K ∈ DC ⊂ (SCD), N ∈ SC), tức là NK.
• Với mặt (SAD): (MNP) ∩ (SAD) là đường thẳng qua P và L, với L = ℓ ∩ AD (do (MNP) ∥ AD nên giao tuyến với (SAD) qua P và song song AD, cắt SD tại Q; ba điểm P, Q, L thẳng hàng và N, Q, K thẳng hàng — nhất quán vì cùng thuộc (MNP)).
Vậy các giao tuyến là: MP (mặt SAB), MN (mặt SBC), NK (mặt SCD), PL (mặt SAD) và đoạn EK (hoặc ELK) trên mặt đáy, với E = MP ∩ AB, đường qua E song song AD.
Nhận xét: MN ∥ EK (cùng song song AD) nên các giao tuyến đó tạo thành một hình thang MNKE (hai cạnh MP và NK là hai cạnh bên; P, L nằm trên hai cạnh bên đó).
b) Chứng minh OJ ∥ (SAD) với J ∈ MN:
• Trong tam giác SBD: O là trung điểm của BD (tính chất hình bình hành), M là trung điểm của SB nên OM là đường trung bình ⇒ OM ∥ SD ⇒ OM ∥ (SAD) (vì SD ⊂ (SAD)).
• Trong tam giác SAC: O là trung điểm của AC, N là trung điểm của SC nên ON là đường trung bình ⇒ ON ∥ SA ⇒ ON ∥ (SAD) (vì SA ⊂ (SAD)).
• OM và ON là hai đường thẳng cắt nhau tại O, cùng song song với (SAD) ⇒ mặt phẳng (OMN) ∥ (SAD).
• Vì J ∈ MN ⊂ (OMN) nên đường thẳng OJ nằm trong mặt phẳng (OMN), mà (OMN) ∥ (SAD) và OJ không nằm trong (SAD) ⇒ OJ ∥ (SAD). Đpcm.
(Kiểm tra bằng vectơ: với A làm gốc, OJ = ½·S + ½(t−1)·D với J = M + t(N−M), t ∈ [0;1], tức OJ là tổ hợp tuyến tính của SA và SD nên OJ ∥ (SAD) với mọi J ∈ MN.)
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O; M, N là trung điểm của SB, SC; P ∈ SA.
a) Xác định giao tuyến của (MNP) với các mặt của hình chóp:
• Vì M ∈ SB, N ∈ SC nên MN là giao tuyến của (MNP) với mặt (SBC). Tam giác SBC có M, N là trung điểm nên MN ∥ BC; mà BC ∥ AD nên MN ∥ AD, do đó MN ∥ (ABCD) và MN ∥ (SAD).
• Với mặt (SAB): (MNP) ∩ (SAB) = MP (vì M ∈ (SAB), P ∈ (SAB)). Cho đường thẳng MP cắt AB tại E.
• Với mặt đáy (ABCD): vì (MNP) chứa MN ∥ AD nên (MNP) ∥ AD, suy ra giao tuyến của (MNP) với mặt đáy là đường thẳng ℓ đi qua E và song song với AD (tức song song với MN, BC). Trên hình bình hành, ℓ cắt DC tại K (và có thể cắt AD tại L tùy vị trí của P).
• Với mặt (SCD): (MNP) ∩ (SCD) là đường thẳng qua N và K (K ∈ DC ⊂ (SCD), N ∈ SC), tức là NK.
• Với mặt (SAD): (MNP) ∩ (SAD) là đường thẳng qua P và L, với L = ℓ ∩ AD (do (MNP) ∥ AD nên giao tuyến với (SAD) qua P và song song AD, cắt SD tại Q; ba điểm P, Q, L thẳng hàng và N, Q, K thẳng hàng — nhất quán vì cùng thuộc (MNP)).
Vậy các giao tuyến là: MP (mặt SAB), MN (mặt SBC), NK (mặt SCD), PL (mặt SAD) và đoạn EK (hoặc ELK) trên mặt đáy, với E = MP ∩ AB, đường qua E song song AD.
Nhận xét: MN ∥ EK (cùng song song AD) nên các giao tuyến đó tạo thành một hình thang MNKE (hai cạnh MP và NK là hai cạnh bên; P, L nằm trên hai cạnh bên đó).
b) Chứng minh OJ ∥ (SAD) với J ∈ MN:
• Trong tam giác SBD: O là trung điểm của BD (tính chất hình bình hành), M là trung điểm của SB nên OM là đường trung bình ⇒ OM ∥ SD ⇒ OM ∥ (SAD) (vì SD ⊂ (SAD)).
• Trong tam giác SAC: O là trung điểm của AC, N là trung điểm của SC nên ON là đường trung bình ⇒ ON ∥ SA ⇒ ON ∥ (SAD) (vì SA ⊂ (SAD)).
• OM và ON là hai đường thẳng cắt nhau tại O, cùng song song với (SAD) ⇒ mặt phẳng (OMN) ∥ (SAD).
• Vì J ∈ MN ⊂ (OMN) nên đường thẳng OJ nằm trong mặt phẳng (OMN), mà (OMN) ∥ (SAD) và OJ không nằm trong (SAD) ⇒ OJ ∥ (SAD). Đpcm.
(Kiểm tra bằng vectơ: với A làm gốc, OJ = ½·S + ½(t−1)·D với J = M + t(N−M), t ∈ [0;1], tức OJ là tổ hợp tuyến tính của SA và SD nên OJ ∥ (SAD) với mọi J ∈ MN.)