Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${\log }^2|\cos x|-m\log {\cos }^{2}x-m^2+4=0$ vô nghiệm.

Phương pháp:
- Đặt $t=\log |\cos x|$ và tìm điều kiện của $t$.
- Thay vào phương trình đã cho đưa về phương trình ẩn $t$.
- Biến đổi điều kiện bài toán về điều kiện của phương trình vừa có được và tìm $m$.
Cách giải:
Điều kiện: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Ta có: ${\log }^2|\cos x|-m\log {\cos }^{2}x-m^2+4=0$
$\iff {\log }^2|\cos x|-2m\log |\cos x|+m^2+4=0$ (do $\log {\cos }^{2}x=2\log |\cos x|$).
Đặt $t=\log |\cos x|$. Do $0<|\cos x|\le 1$ nên $\log |\cos x|\le 0$ hay $t\in (-\infty ;0]$.
Phương trình trở thành $t^2-2mt-m^2+4=0$ (*) có ${\Delta }^{\prime }=m^2+m^2-4=2m^2-4$.
Phương trình đã cho vô nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm (không nhất thiết phân biệt) $t_1,t_2$ thỏa mãn $0<t_1\le t_2$ (do $t\le 0$ nên không thể có nghiệm $t>0$; nếu (*) có nghiệm âm hoặc bằng 0 thì phương trình đã cho có nghiệm).
TH1: (*) vô nghiệm $\iff {\Delta }^{\prime }=2m^2-4<0\iff -\sqrt{2}<m<\sqrt{2}$.
TH2: (*) có hai nghiệm phân biệt $t_1<t_2$ thỏa mãn $t_1\le t_2<0$ (khi đó cả hai nghiệm đều cho $\log |\cos x|<0$, tức là có nghiệm $x$):
$\iff \{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }>0\\ t_1+t_2<0\\ t_1{t}_2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2m^2-4>0\\ 2m<0\\ -m^2+4>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>\sqrt{2}\text{hoặc}m<-\sqrt{2}\\ m<0\\ -2<m<2\end{array}\iff -2<m<-\sqrt{2}$.
Kết hợp hai trường hợp: $(-\sqrt{2};\sqrt{2})\cup (-2;-\sqrt{2})=(-2;\sqrt{2})$? Xét lại: với $-2<m<-\sqrt{2}$, phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt, khi đó tồn tại $x$ với $\log |\cos x|=t_1$ (vì $t$ chạy trên $(-\infty ;0]$), nên phương trình đã cho CÓ nghiệm. Do đó chỉ TH1 và trường hợp nghiệm $t=0$ (khi $\cos x=\pm 1$) cần loại. Xét $t=0$ là nghiệm của (*): $-m^2+4=0\iff m=\pm 2$, khi đó nghiệm còn lại $t=2m$; với $m=2$, $t=4>0$ loại; với $m=-2$, $t=-4\le 0$ cho nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi $m\in (-\sqrt{2};2)$.
Chọn C.