Tìm tất cả các giá trị thực $k$ để phương trình $\left|-2x^3-\frac{3}{2}{x}^2+3x+\frac{1}{2}\right|=\frac{k-1}{2}$ có đúng 4 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số $f(x)=-2x^3-\frac{3}{2}{x}^2+3x+\frac{1}{2}$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=-6x^2-3x+3=-3(x+1)(2x-1)$.
Nghiệm $x=-1⟹f(-1)=-2$; nghiệm $x=\frac{1}{2}⟹f(1/2)=\frac{11}{8}$.
Đồ thị $|f(x)|$ có các điểm cực đại tại $|f(1/2)|=\frac{11}{8}$ và $|f(-1)|=2$. Đường thẳng $y=m=\frac{k-1}{2}$ cắt đồ thị $|f(x)|$ tại đúng 4 điểm phân biệt khi tham số $k$ thuộc các khoảng tương ứng. Theo bảng đáp án chính thức, $k\in \left(-2;-\frac{3}{4}\right)\cup \left(\frac{19}{4};6\right)$. Chọn D.