Tính các giới hạn sau:

1. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{5n+9}$.

2. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n-7}{n^2+9n+2}$.

3. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^3-3n+1}{(2n+3)\left(n^2+7\right)}$.

4. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2-9n+2}{5n+9}$.

5. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3^n-2^n}{3^{n+2}+1}$.

6. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{2n+1}-7^n}{2^{3n-1}+7^{n+1}}$.

7. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-2n^3+9n^2+1\right)$.

8. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4n^2+2}-5n\right)$.

9. $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+8n+2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 126: Tính từng giới hạn.

1. Chia tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{5n+9}=\lim \frac{2+\frac{1}{n}}{5+\frac{9}{n}}=\frac{2}{5}$.

2. Chia cho $n^2$: $\lim \frac{\frac{1}{n}-\frac{7}{n^2}}{1+\frac{9}{n}+\frac{2}{n^2}}=0$.

3. Mẫu có bậc 3: $(2n+3)(n^2+7)=2n^3+6n^2+14n+21$. Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\lim \frac{1-\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{2+\frac{6}{n}+\frac{14}{n^2}+\frac{21}{n^3}}=\frac{1}{2}$.

4. Tử bậc 2, mẫu bậc 1, chia cho $n$: $\lim \frac{n-9+\frac{2}{n}}{5+\frac{9}{n}}=+\infty$. Vậy giới hạn bằng $+\infty$.

5. Chia tử và mẫu cho $3^n$: $\lim \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{9+\frac{1}{3^n}}=\frac{1-0}{9+0}=\frac{1}{9}$.

6. Ta có $2^{2n+1}=2\cdot 4^n$, $2^{3n-1}=\frac{1}{2}\cdot 8^n$. Chia tử và mẫu cho $8^n$: $\lim \frac{2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(\frac{7}{8}\right)}^n}{\frac{1}{2}+7{\left(\frac{7}{8}\right)}^n}=\frac{0-0}{\frac{1}{2}+0}=0$.

7. $\underset{n\to +\infty }{\lim }(-2n^3+9n^2+1)=\lim n^3\left(-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\right)=-\infty$ vì $-2+\frac{9}{n}+\frac{1}{n^3}\to -2<0$ và $n^3\to +\infty$.

8. Nhân liên hợp: $\sqrt{4n^2+2}-5n=\frac{4n^2+2-25n^2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}=\frac{-21n^2+2}{\sqrt{4n^2+2}+5n}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{-21n+\frac{2}{n}}{\sqrt{4+\frac{2}{n^2}}+5}=-\infty$.

9. Nhân liên hợp: $\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2+8n+2}=\frac{(n^2+1)-(n^2+8n+2)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}=\frac{-8n-1}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2+8n+2}}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{-8-\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{8}{n}+\frac{2}{n^2}}}=\frac{-8}{1+1}=-4$.