Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD$.

a) Chứng minh rằng $(OMN)\parallel (SBC)$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $SD$, $J$ là một điểm trên $(ABCD)$ và cách đều $AB,CD$. Chứng minh rằng $IJ\parallel (SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 125**

**a) Chứng minh $(OMN)\parallel (SBC)$:**

Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$.

Xét tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SA$, $O$ là trung điểm $AC$ nên $OM$ là đường trung bình, suy ra
$$OM\parallel SC.$$

Xét tam giác $ACD$: $O$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $CD$ nên $ON$ là đường trung bình, suy ra
$$ON\parallel AD.$$

Mà $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, do đó $ON\parallel BC$.

Ta có:
- $OM\parallel SC$, với $SC\subset (SBC)$, $OM\not\subset (SBC)$;
- $ON\parallel BC$, với $BC\subset (SBC)$, $ON\not\subset (SBC)$;
- $OM\cap ON=O$, $O\notin (SBC)$.

Vậy $(OMN)\parallel (SBC)$. $■$

**b) Chứng minh $IJ\parallel (SAB)$:**

Gọi $E$ là trung điểm của $AD$, $F$ là trung điểm của $BC$. Vì $AB\parallel CD$ nên tập hợp các điểm trong mặt phẳng $(ABCD)$ cách đều $AB$ và $CD$ là đường trung bình của hình bình hành, tức đường thẳng $EF$ (song song với $AB$ và $CD$). Do $J$ cách đều $AB,CD$ nên $J\in EF$.

Xét tam giác $SAD$: $I$ là trung điểm $SD$, $E$ là trung điểm $AD$ nên $IE$ là đường trung bình, suy ra
$$IE\parallel SA,SA\subset (SAB).$$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $E$ là trung điểm $AD$, $F$ là trung điểm $BC$, do đó $EF$ là đoạn nối hai trung điểm hai cạnh đối diện, suy ra
$$EF\parallel AB,AB\subset (SAB).$$

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $EF$ không song song $AD$ (vì $EF\parallel AB$ và $AB$ cắt $AD$ tại $A$), nên $IE$ và $EF$ cắt nhau tại $E$.

Ta có: $IE\parallel SA\subset (SAB)$, $EF\parallel AB\subset (SAB)$, $IE\cap EF=E$, $E\notin (SAB)$.

Vậy mặt phẳng $(IEF)\parallel (SAB)$.

Mà $J\in EF\subset (IEF)$, $I\in (IEF)$ nên $IJ\subset (IEF)$, do đó
$$IJ\parallel (SAB).■$$