Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SD$.

a) Chứng minh rằng $(OMN)//(SBC)$.

b) Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,ON$. Chứng minh $PQ//(SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 124. Đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$; $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SD$.

a) Trong tam giác $SAD$: $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel AD$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, do đó $MN\parallel BC$ với $BC\subset (SBC)$.
Vì $O$ là tâm hình bình hành nên $O$ là trung điểm $AC$. Xét tam giác $SAC$: $O$ trung điểm $AC$, $M$ trung điểm $SA$ nên $OM$ là đường trung bình, suy ra $OM\parallel SC$ với $SC\subset (SBC)$.
Hai đường thẳng $MN$ và $OM$ cắt nhau tại $M$, cùng nằm trong $(OMN)$ và lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $BC,SC$ của $(SBC)$. Theo định lý về điều kiện song song của hai mặt phẳng, ta có $(OMN)\parallel (SBC)$.

b) Chọn $A$ làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$.
- $O$ là trung điểm $AC$: $\overrightarrow{AO}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$.
- $N$ là trung điểm $SD$: $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{s}+\vec{d}}{2}$.
- $Q$ là trung điểm $ON$: $\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}\left(\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}+\frac{\vec{s}+\vec{d}}{2}\right)=\frac{\vec{b}+\vec{s}+2\vec{d}}{4}$.
- $P$ là trung điểm $AB$: $\overrightarrow{AP}=\frac{\vec{b}}{2}$.
Suy ra $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=\frac{\vec{s}+2\vec{d}-\vec{b}}{4}$.
Ta có $\vec{s}-\vec{b}=-(\vec{b}-\vec{s})=-\overrightarrow{SB}$ và $2\vec{d}=2\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}$ (vì $ABCD$ là hình bình hành). Vậy $\overrightarrow{PQ}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{SB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
Hai vectơ $\overrightarrow{SB},\overrightarrow{BC}$ không cùng phương và cùng nằm trong $(SBC)$, nên $\overrightarrow{PQ}$ là vectơ chỉ phương của một đường thẳng song song với $(SBC)$ (hoặc nằm trong $(SBC)$).
Mặt khác $P\in AB\subset (ABCD)$, mà $(ABCD)\cap (SBC)=BC$ và $P\notin BC$, nên $P\notin (SBC)$, do đó $PQ\not\subset (SBC)$.
Vậy $PQ\parallel (SBC)$. $■$

(Nhận xét: có thể trình bày tổng hợp — vì $O$ là trung điểm $BD$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $ON$ là đường trung bình tam giác $DBS$, suy ra $ON\parallel SB$; từ đó cũng dẫn đến kết quả tương tự.)