Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy là hình thang với đáy lớn $AB$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$.

a) Chứng minh: $MN\parallel CD$.

b) Tìm giao điểm $P$ của $SC$ với $(AND)$. Kéo dài $AN$ và $DP$ cắt nhau tại $I$. Chứng minh $SI\parallel AB\parallel CD$. Tứ giác $SIBA$ là hình gì? Vì sao?

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 123.** Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB$ (nên $AB\parallel CD$), $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$.

**a) Chứng minh $MN\parallel CD$:**
Xét tam giác $SAB$: $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN\parallel AB$.
Mặt khác, đáy $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB$ và $CD$ nên $AB\parallel CD$. Vậy $MN\parallel AB\parallel CD$, do đó $MN\parallel CD$.

**b) Tìm giao điểm $P$ của $SC$ với $(AND)$; chứng minh $SI\parallel AB\parallel CD$; tứ giác $SIBA$:**

• Vì $MN\parallel CD$ với $MN\subset (SAB)$, $CD\not\subset (SAB)$ nên $CD\parallel (SAB)$.

• Hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(SAB)$: mặt phẳng $(SCD)$ chứa $CD$, mặt phẳng $(SAB)$ chứa $AB$, mà $CD\parallel AB$, do đó giao tuyến $(SCD)\cap (SAB)$ là đường thẳng $\Delta$ đi qua $S$ và $\Delta \parallel AB\parallel CD$.

• Xét tam giác $SAB$: qua $S$ vẽ đường thẳng $\Delta \parallel AB$, cắt đường thẳng $AN$ (kéo dài) tại $I$. Vì $SI\parallel AB$ nên $\widehat{NSI}=\widehat{NBA}$ và $\widehat{NIS}=\widehat{NAB}$ (đồng vị); lại có $NS=NB$ ($N$ là trung điểm $SB$), suy ra tam giác $NIS$ bằng tam giác $NBA$ (g.c.g). Do đó $NI=NA$ và $SI=AB$.

• Xác định $P$: vì $I\in AN\subset (AND)$ và $I\in \Delta \subset (SCD)$ nên $I$ thuộc giao tuyến $(AND)\cap (SCD)$, tức giao tuyến là đường thẳng $DI$. Khi đó $P=SC\cap DI=SC\cap (AND)$, tức $P$ là giao điểm của $SC$ với đường thẳng $DI$ (và $P\in (AND)$). Vậy $P$ được tìm bằng cách: trong mặt phẳng $(SCD)$, kéo dài $SC$ cắt $DI$ tại $P$.

• Chứng minh $SI\parallel AB\parallel CD$: đường thẳng $AN$ nằm trong $(AND)$, đường thẳng $DP$ (tức $DI$) nằm trong $(AND)$, nên $I=AN\cap DP$ thuộc $(AND)$. Đồng thời $I\in \Delta =(SAB)\cap (SCD)$, mà $\Delta \parallel AB\parallel CD$. Vậy $SI\parallel AB\parallel CD$.

• Tứ giác $SIBA$ là **hình bình hành**. Thật vậy: ta có $SI\parallel AB$ (chứng minh trên) và $SI=AB$ (do tam giác $NIS$ bằng tam giác $NBA$). Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. (Cách khác: vì $NI=NA$ và $NS=NB$ nên hai đường chéo $AI$ và $SB$ của tứ giác $SIBA$ cắt nhau tại $N$ là trung điểm chung, do đó $SIBA$ là hình bình hành; khi đó cũng có $SA\parallel IB$.)