Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $f(x)=x^2-2x$ và $f(x)=x^3-2x^2$.

Nhà cô Anh có một khu vườn hình chữ nhật (có kích thước như trong hình), cô Anh muốn đổ bê tông một đường đi trong vườn (phần được tô đậm). Biết rằng đường cong $AB$ có dạng là một phần của đồ thị hàm số bậc ba và đường cong $DC$ nhận được từ đường cong $AB$ bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên $2\text{ m}$. Ngoài ra, cô Anh quyết định đổ lớp bê tông dày $20\text{ cm}$ và giá tiền $1{\text{ m}}^3$ bê tông là $1150$ nghìn đồng. Hỏi cô Anh cần dùng bao nhiêu nghìn đồng để đổ bê tông con đường đó?

Cho hàm số $f(x)=x^3$. Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $P(2;f(2))$ cắt đường thẳng $\Delta :y=-x+5$ tại điểm $Q$. Gọi $R$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với trục hoành. Gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và đoạn thẳng $PQ$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và trục hoành. Tính giá trị của $B-A$.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$ và $y=x-x^2$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên. Bất phương trình $2f(x)>(x+1{)}^2+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in [-3;3]$ khi và chỉ khi :

Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ bằng $\frac{214}{5}$. Khi đó ${\int }_{-2}^{1}f(x)dx$ bằng

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx$ và $g(x)=m{x}^3+n{x}^2+px$. Biết rằng hàm số $y=f(x)-g(x)$ có ba điểm cực trị là $-1,1,2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng