Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}(2x+1)dx$

Cho $f(x)=x^2+2x$ và $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Khi đó:

Biết $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|2^x-2\right|\mathrm{d}x=\frac{a+b\ln 2}{\ln 2}$ với $a,b$ là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0;1]$, thỏa mãn ${\left(f^{\prime }(x)\right)}^2+4f(x)=8x^2+4$, $\forall x\in [0;1]$ và $f(1)=2$. Khi đó tích phân ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{a}{b}$. Hãy tính giá trị $a+b$ (biết $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản).

Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$ và $x=4$ quanh trục $Ox$. Đường thẳng $x=a(0<a<4)$ cắt đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm $M$ như hình vẽ bên. Gọi $V_1$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Biết rằng $V=2V_1$. Khi đó giá trị $a$ bằng bao nhiêu?

Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)dx.$

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[0;2\right]$ và $f(0)-f(2)=2$. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx.$