Tính tổng $S=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\cdots +(-1{)}^n\frac{1}{3^n}+\cdots$

(AI giải đề cho tôi)
Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=-\frac{1}{3}$ và công bội $q=-\frac{1}{3}$ (vì $\frac{1/9}{-1/3}=-\frac{1}{3}$, $\frac{-1/27}{1/9}=-\frac{1}{3}$). Vì $|q|=\frac{1}{3}<1$ nên tổng tồn tại: $$S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{-\frac{1}{3}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}}=-\frac{1}{4}.$$ Vậy $S=-\frac{1}{4}$. Kiểm tra lại bằng cách lấy giới hạn tổng riêng: $S_n=\frac{-\frac{1}{3}\left(1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\right)}{1+\frac{1}{3}}=-\frac{1}{4}\left(1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^n\right)\to -\frac{1}{4}$ khi $n\to \infty$.