Cho $u_n=\frac{1+a+a^2+\cdots +a^n}{1+b+b^2+\cdots +b^n}$ với $a,b$ là các số thực thoả mãn $|a|<1,|b|<1$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $|a|<1$ và $|b|<1$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}^n=0$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{b}^n=0$.

Ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
$$1+a+a^2+\cdots +a^n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a},1+b+b^2+\cdots +b^n=\frac{1-b^{n+1}}{1-b}.$$

Do đó
$$u_n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}\cdot \frac{1-b}{1-b^{n+1}}.$$

Khi $n\to +\infty$: $a^{n+1}\to 0$, $b^{n+1}\to 0$, nên
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{1}{1-a}\cdot (1-b)=\frac{1-b}{1-a}.$$

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{1-b}{1-a}$.