Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2+2az+b^2+2=0$ ($a,b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $(a;b)$ sao cho phương trình đó có hai nghiệm $z_1,z_2$ thỏa mãn $z_1+2i{z}_2=3+3i$?

- **Trường hợp 1:** Phương trình có hai nghiệm thực $z_1,z_2\in \mathbb{R}$. Khi đó $z_1+2i{z}_2=3+3i\iff \{\begin{array}{l}{z}_1=3\\ 2z_2=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{z}_1=3\\ z_2=\frac{3}{2}\end{array}$.
Theo định lí Vi-ét: $\{\begin{array}{l}-2a=z_1+z_2=\frac{9}{2}\\ b^2+2=z_1{z}_2=\frac{9}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{9}{4}\\ b=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}\end{array}$ (có $2$ cặp $(a;b)$).
- **Trường hợp 2:** Phương trình có hai nghiệm phức không thực $z_1=m+ni$, $z_2=m-ni$ $(m,n\in \mathbb{R},n\ne 0)$. Thay vào $z_1+2i{z}_2=3+3i$ ta được $(m+2n)+(2m+n)i=3+3i\iff m=n=1$.
Khi đó $z_1=1+i,z_2=1-i\Rightarrow \{\begin{array}{l}-2a=2\\ b^2+2=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=0\end{array}$ (có $1$ cặp $(a;b)$).

Vậy có tất cả $3$ cặp số thực $(a;b)$.