Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2-2(m-1)z+m^2-3=0$ ($m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp giá trị của $m$ để phương trình đó có hai nghiệm $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1-z_2|=2\sqrt{5}$. Tính tổng các phần tử của tập $S$.

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-(m^2-3)=m^2-2m+1-m^2+3=4-2m$.
- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff 4-2m>0\iff m<2$. Khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$.
$|z_1-z_2|=2\sqrt{{\Delta }^{\prime }}=2\sqrt{4-2m}=2\sqrt{5}\iff 4-2m=5\iff m=-\frac{1}{2}$ (thỏa mãn $m<2$).
- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m>2$. Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1,z_2=(m-1)\pm i\sqrt{2m-4}$.
Khi đó $|z_1-z_2|=|2i\sqrt{2m-4}|=2\sqrt{2m-4}=2\sqrt{5}\iff 2m-4=5\iff m=\frac{9}{2}$ (thỏa mãn $m>2$).
Tập $S=\left\{-\frac{1}{2};\frac{9}{2}\right\}$. Tổng các phần tử của $S$ là $-\frac{1}{2}+\frac{9}{2}=4$. Chọn đáp án A.