Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với trung điểm $H$ của $AB$. Góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }CD)$ và $(ABCD)$ bằng $30^{\circ }$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ biết $A{A}^{\prime }=a\sqrt{7}$.

Gọi cạnh hình vuông đáy là $x$. Khi đó $AH=\frac{x}{2}$. Vì $A^{\prime }H\perp (ABCD)$ nên tam giác $A^{\prime }HA$ vuông tại $H$: $A^{\prime }{H}^2=A{A}^{\prime 2}-A{H}^2=7a^2-\frac{x^2}{4}$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $CD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $HK=AD=x$ và $HK\perp CD$. Lại có $A^{\prime }H\perp CD$ nên $CD\perp (A^{\prime }HK)\Rightarrow CD\perp A^{\prime }K$.
Do đó góc giữa $(A^{\prime }CD)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A^{\prime }KH}=30^{\circ }$.
Trong tam giác vuông $A^{\prime }HK$: $A^{\prime }H=HK\cdot \tan 30^{\circ }=x\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{x}{\sqrt{3}}$.
Từ đó: $A^{\prime }{H}^2=\frac{x^2}{3}=7a^2-\frac{x^2}{4}\iff \frac{7x^2}{12}=7a^2\iff x^2=12a^2\Rightarrow x=2a\sqrt{3}$.
Chiều cao lăng trụ là $A^{\prime }H=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2a$. Diện tích đáy $B=x^2=12a^2$.
Thể tích khối lăng trụ: $V=B\cdot A^{\prime }H=12a^2\cdot 2a=24a^3$. Chọn đáp án B.