Trên tập hợp số phức, xét phương trình $z^2-2mz+m^2-2m=0$ ($m$ là tham số thực). Hỏi có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1{|}^2+m(z_2-z_1)=2|z_1{z}_2|$?

Ta có ${\Delta }^{\prime }=m^2-(m^2-2m)=2m$.
- TH1: $m>0$. Phương trình có $2$ nghiệm thực phân biệt $z_{1,2}=m\pm \sqrt{2m}$.
Vì $z_1^2-2m{z}_1+m^2-2m=0$ và $z_1+z_2=2m$, ta có $|z_1{|}^2+m(z_2-z_1)=z_1^2+m(2m-2z_1)=(z_1^2-2m{z}_1)+2m^2=2m-m^2+2m^2=m^2+2m$.
Do đó hệ thức đã cho trở thành $m^2+2m=2|m^2-2m|\iff m+2=2|m-2|$ (vì $m>0$) $\iff [\begin{array}{l}m=6(\text{thỏa ma˜n})\\ m=\frac{2}{3}(\text{thỏa ma˜n})\end{array}$.
- TH2: $m<0$. Phương trình có $2$ nghiệm phức phân biệt không thực $z_{1,2}=m\pm i\sqrt{-2m}$, khi đó $|z_1|=|z_2|\Rightarrow |z_1{|}^2=|z_1{z}_2|$.
Hệ thức trở thành $m(z_2-z_1)=|z_1{|}^2=m^2-2m\iff \mp 2m\sqrt{-2m}i=m^2-2m\Rightarrow m=0$ (không thỏa mãn $m<0$).
Vậy có $2$ giá trị của $m$ thỏa mãn là $m=6$ và $m=\frac{2}{3}$. Chọn A.