Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;0;1)$, $B(0;0;9)$ và $Q(3;4;6)$. Xét các điểm $M$ thay đổi sao cho tam giác $ABM$ vuông tại $M$ và có diện tích lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MQ$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Vì tam giác $ABM$ vuông tại $M$ nên $M$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$.
Trung điểm của $AB$ là $I(0;0;5)$, bán kính $R=\frac{AB}{2}=4$.
Diện tích tam giác $MAB$ là $S=\frac{1}{2}AB\cdot d(M,AB)=4\cdot d(M,AB)\le 4R=16$.
Diện tích lớn nhất khi $d(M,AB)=4$, tức $M$ thuộc đường tròn giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng trung trực của $AB$, đó là mặt phẳng $(P):z=5$.
Khi đó tập hợp các điểm $M$ là đường tròn trong $(P)$ có tâm $I(0;0;5)$ và bán kính $R=4$.
Hình chiếu của $Q(3;4;6)$ lên $(P)$ là $Q^{\prime }(3;4;5)$. Ta có $I{Q}^{\prime }=\sqrt{(3-0{)}^2+(4-0{)}^2}=5$.
Khoảng cách từ $M$ đến $Q^{\prime }$ nhỏ nhất khi $M$ nằm trên đoạn $I{Q}^{\prime }$, với $M{Q}_{\min }^{\prime }=I{Q}^{\prime }-R=5-4=1$.
Độ dài đoạn $MQ=\sqrt{M{Q}^{\prime 2}+(z_Q-5{)}^2}\ge \sqrt{1^2+(6-5{)}^2}=\sqrt{2}\approx 1.414$.
Giá trị này thuộc khoảng $(1;2)$. Chọn C.