Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;1;3)$, $B(-1;3;2)$, $C(-1;2;3)$. Phương trình mặt cầu có tâm $O$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(ABC)$ là

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;1;0)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(1;2;2)$.
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là:
$1(x-1)+2(y-1)+2(z-3)=0⟺x+2y+2z-9=0$.
Vì mặt cầu tâm $O(0;0;0)$ tiếp xúc với $(ABC)$ nên bán kính là khoảng cách từ $O$ đến $(ABC)$:
$R=d(O,(ABC))=\frac{|-9|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{9}{3}=3$.
Phương trình mặt cầu là: $x^2+y^2+z^2=3^2=9$.