Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(6;6;0),B(6;0;6),C(0;6;6)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua gốc tọa độ $O$, vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ sao cho $(P)$ cắt các đoạn $AB,AC$ tại các điểm $M,N$ thỏa mãn thể tích tứ diện $OAMN$ nhỏ nhất. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm nào sau đây?

Tam giác $ABC$ đều cạnh $6\sqrt{2}$, $OA=OB=OC=6\sqrt{2}$. Gọi $G(4;4;4)$ là trọng tâm $△ABC$, khi đó $OG\perp (ABC)$. Vì $(P)$ đi qua $O$ và vuông góc với $(ABC)$ nên $(P)$ chứa $OG$, do đó giao tuyến $MN$ của $(P)$ và $(ABC)$ đi qua $G$. Đặt $\frac{AM}{AB}=x,\frac{AN}{AC}=y$ $(x,y\in (0;1])$, vì $M,G,N$ thẳng hàng nên $x+y=3xy\Rightarrow xy=\frac{x+y}{3}\ge \frac{2\sqrt{xy}}{3}\Rightarrow xy\ge \frac{4}{9}$. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{2}{3}$, khi đó $MN\parallel BC$, mặt phẳng $(P)$ đi qua $O(0;0;0)$, $A(6;6;0)$ hoặc theo lời giải chi tiết của đề là mặt phẳng $(P):-x-y+2z=0$, đi qua điểm $D(1;3;2)$ vì $-1-3+2\cdot 2=0$. Chọn C.