Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-z-4=0$. Gọi $d^{\prime }$ là đường thẳng nằm trong $(P)$ sao cho $d^{\prime }$ cắt và vuông góc với $d$. Biết rằng, đường thẳng $d^{\prime }$ có phương trình $\{\begin{array}{l}x=1+at\\ y=1+bt\\ z=-2+ct\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản). Tính giá trị của biểu thức $T=a+10b-c$.