Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;1),B(2;-1;3)$. Tìm điểm $M$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $M{A}^2-2M{B}^2$ lớn nhất.

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0}⟺\overrightarrow{OI}=2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=2(2;-1;3)-(1;2;1)=(3;-4;5)$.
Khi đó $M{A}^2-2M{B}^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}{)}^2-2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}{)}^2=-M{I}^2+I{A}^2-2I{B}^2$.
Biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi $M{I}^2$ nhỏ nhất, tức $M$ là hình chiếu vuông góc của $I(3;-4;5)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$. Do đó $M(3;-4;0)$. Chọn D.