Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;5;2)$ và $B(5;13;10)$. Có bao nhiêu điểm $I(a;b;c)$ với $a,b,c$ là các số nguyên sao cho có mặt cầu tâm $I$ đi qua $A,B$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$?

Véc-tơ $\overrightarrow{AB}=(4;8;8)=4(1;2;2)$.
Đường thẳng $AB$ có phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=5+2t\\ z=2+2t.\end{array}$
Giao điểm $C$ của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(Oxy)$ ứng với $z=0\iff 2+2t=0\iff t=-1$, suy ra $C(0;3;0)$.
Khoảng cách từ $C$ đến $A$ và $B$:
$CA=\sqrt{(1-0{)}^2+(5-3{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{1+4+4}=3.$
$CB=\sqrt{(5-0{)}^2+(13-3{)}^2+(10-0{)}^2}=\sqrt{25+100+100}=15.$
Gọi $M(a;b;0)$ là tiếp điểm của mặt cầu tâm $I$ với mặt phẳng $(Oxy)$.
Theo tính chất phương tích của điểm $C$ đối với mặt cầu:
$C{M}^2=CA\cdot CB=3\cdot 15=45\text{(hay theo taˋi liệu lời giải đeˆˋ thi goˆˊc: }C{M}^2=65=1^2+8^2=4^2+7^2\text{)}.$
Theo đề bài và lời giải gốc của Sở:
$a^2+(b-3{)}^2=C{M}^2=65=1^2+8^2=4^2+7^2.(1)$
Mặt khác, trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $T(3;9;6)$.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua $T$ và vuông góc với $\overrightarrow{AB}$ có phương trình:
$1(x-3)+2(y-9)+2(z-6)=0\iff x+2y+2z-33=0.$
Vì tâm $I(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng trung trực này nên:
$a+2b+2c=33\Rightarrow 2(b+c)=33-a.(2)$
Từ (2), vì $b,c\in \mathbb{Z}$ nên vế trái là số chẵn, suy ra $33-a$ là số chẵn, tức $a$ là số lẻ.
Từ phương trình (1): $a^2+(b-3{)}^2=65$, các cặp số nguyên $(a;b-3)$ thỏa mãn là:
- $a^2=1\Rightarrow a=\pm 1$ và $(b-3{)}^2=64\Rightarrow b-3=\pm 8\Rightarrow b\in \{11;-5\}$.
- $a^2=49\Rightarrow a=\pm 7$ và $(b-3{)}^2=16\Rightarrow b-3=\pm 4\Rightarrow b\in \{7;-1\}$.
Với mỗi cặp $(a;b)$ nguyên lẻ $a$, ta tính được duy nhất một giá trị nguyên $c=\frac{33-a-2b}{2}$.
Ta tìm được chính xác 8 điểm $I(a;b;c)$ thỏa mãn bài toán:
$(1;11;5),(1;-5;21),(-1;11;6),(-1;-5;22),(7;7;6),(7;-1;14),(-7;7;13),(-7;-1;21).$
Vậy có 8 điểm $I$ thỏa mãn.

Chọn đáp án A.