Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=1$ và điểm $A(2;3;4)$. Xét các điểm $M$ thuộc $(S)$ sao cho $AM$ luôn tiếp xúc với $(S)$, điểm $M$ luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=1$. Ta có $\overrightarrow{IA}=(1;1;1)\Rightarrow IA=\sqrt{3}>R$, nên điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.



Vì $AM\perp IM$ nên các tiếp điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S_1)$ đường kính $AI$ có tâm $J\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$ và bán kính $R_1=\frac{IA}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$(S_1):{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(z-\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$.

Trừ vế theo vế phương trình hai mặt cầu $(S)$ và $(S_1)$ ta được phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến là $x+y+z-7=0$.