Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z-1+2i|+|z+3-i|=5$ và $|z-w|\le 2$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|w-4+2i|$. Khi đó $M^2-m^2$ bằng

Gọi $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z,w$; $A(1;-2)$ biểu diễn $1-2i$, $B(-3;1)$ biểu diễn $-3+i$, và $C(4;-2)$ biểu diễn $4-2i$.



Ta có $AB=\sqrt{(-3-1{)}^2+(1+2{)}^2}=5$, nên $|z-1+2i|+|z+3-i|=5\iff MA+MB=AB$, suy ra $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$.

Từ $|z-w|\le 2\iff MN\le 2$, suy ra $N$ thuộc miền trong và biên của hình tạo bởi tập hợp các hình tròn bán kính $2$ có tâm trên đoạn $AB$, còn $|w-4+2i|=NC$.

Từ hình vẽ, $NC$ nhỏ nhất bằng $CJ=CA-2=3-2=1\Rightarrow m=1$; $NC$ lớn nhất bằng $CI=CB+2=\sqrt{(4+3{)}^2+(-2-1{)}^2}+2=\sqrt{58}+2\Rightarrow M=\sqrt{58}+2$.

Vậy $M^2-m^2=(\sqrt{58}+2{)}^2-1^2=61+4\sqrt{58}$.