Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=20$, mặt phẳng $(P):2x-2y+z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{-1}$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong $(P)$, vuông góc với $d$ và cắt $(S)$ theo dây cung có độ dài lớn nhất. Hỏi $\Delta$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;-1;2)$, bán kính $R=2\sqrt{5}$. Hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(P)$ là $H(1;1;1)$ (tâm đường tròn giao tuyến của $(S)$ và $(P)$). Đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$ và cắt $(S)$ theo dây cung lớn nhất nên $\Delta$ đi qua $H(1;1;1)$. Vì $\Delta \subset (P)$ và $\Delta \perp d$ nên $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(4;5;2)$. Phương trình tham số của $\Delta$ là $x=1+4t,y=1+5t,z=1+2t$. Với $t=1$, ta được điểm $(5;6;3)\in \Delta$. Chọn B.