Thể tích khối nón có góc ở đỉnh $60^{\circ }$ và độ dài đường sinh $2\sqrt{3}$ bằng

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=3a$, $BC=a$. Cạnh bên $SD=2a$ và $SD$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Đồ thị trong hình vẽ bên là của một trong bốn hàm số dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

Cho hai số phức $z_1=2-3i$ và $z_2=3+i$. Phần ảo của số phức $z_1+z_2$ là

Cho hàm số $f(x)=x-\frac{1}{\sqrt{x}}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Số phức $z=-3+i$ có điểm biểu diễn là điểm nào trong hình bên?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Với $a,b$ là các số thực tùy ý lớn hơn $1$ thỏa mãn ${\log }_{a}2\le {\log }_{b}2$, khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $[-2;1]$ là

Đạo hàm của hàm số $y=4^{3-2x}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(4;-2;3)$. Tọa độ của điểm $M^{\prime }$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(Oxz)$ là

Cho ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=3$ và ${\int }_1^{2}g(x)\mathrm{d}x=2$. Tích phân ${\int }_1^2(f(x)-2g(x))\mathrm{d}x$ bằng

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_2(x+1)>3$ là

Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình $f(x)+\frac{3}{2}=0$ là

Tập xác định của hàm số $y=(2x-3{)}^{\frac{1}{4}}$ là

Tập nghiệm của bất phương trình $3^{2x-3}\le \frac{1}{3}$ là

Nếu ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=3$ và ${\int }_3^{1}f(x)\mathrm{d}x=2$ thì ${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho khối lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=2a$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):2x+my+3z-5=0$ và $(Q):nx-8y-6z+2=0$. Cho biết $(P)\parallel (Q)$, tổng $m+n$ bằng

Cho hai số phức $z_1=2-i$ và $z_2=1+i$. Môđun của số phức $z_1+\overline{z_2}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(-3;-1;2)$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{3}$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và vuông góc với $d$ có phương trình là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=2(x^2-1)(x+2)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Biết đường thẳng $y=2x+1$ cắt đồ thị hàm số $y=x^3+x^2-3x+4$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(1;0;-2)$ và mặt phẳng $(P):2x-y-2z+3=0$. Phương trình mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với $(P)$ là

Cho các số thực dương $a,b$ khác $1$ thỏa mãn $a^4=b^3\sqrt{a}$, giá trị của ${\log }_{a}b$ bằng

Gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-2z+4=0$ và $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z_1,z_2$ trên mặt phẳng tọa độ. Gọi $P$ là điểm có hoành độ dương sao cho tam giác $MNP$ đều, tọa độ của $P$ là

Có $6$ học sinh gồm $2$ học sinh lớp $12A$, $2$ học sinh lớp $12B$ và $2$ học sinh lớp $12C$ của trường THPT $X$ tham gia kỳ phỏng vấn tuyển sinh của trường đại học $Y$. Các học sinh này được phân công ngẫu nhiên vào $3$ phòng, mỗi phòng có $2$ học sinh. Xác suất để không có hai học sinh cùng lớp nào được phân công vào cùng một phòng bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Khẳng định nào dưới đây sai?

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(H)$ (phần màu xám trong hình vẽ bên) quanh trục $AC$. Biết rằng $AC=2\text{ cm}$, $B$ là trung điểm $AC$, miền $(H)$ được giới hạn bởi đoạn thẳng $BC$ và các cung tròn bán kính $1\text{ cm}$ có tâm $A$ và $B$. Thể tích của vật trang trí đó gần nhất với kết quả nào sau đây?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$ với $AC=2a$, $BC=4a$. Cạnh bên $SC=a$ và $SC\perp (ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $AB$ bằng

Cho hình hộp đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=2\sqrt{2}a$ và $SA\perp (ABC)$. Biết $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, $\widehat{BAC}=150^{\circ }$. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $2x^2+f(x)=2x{f}^{\prime }(x)$ với mọi $x>0$. Biết $f(1)=1$, giá trị của $f(9)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-1)$, đường thẳng $d:\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+y-z+3=0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$, cắt $d$ và song song với $(P)$ có phương trình là

Trên tập số phức xét phương trình $z^2+2mz+4m+8=0$ ($m\in \mathbb{R}$). Khi phương trình không có nghiệm thực, gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z_1^2-z_2^2|$ bằng

Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y=f(x)$, $y=xf(x^2)$ và các đường thẳng $x=0$, $x=1$ bằng $\frac{11}{10}$. Tích phân ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho ứng với mỗi giá trị của $m$, bất phương trình $\left(3^{x^2}-2^{mx}\right)({\log }_3{x}^2-{\log }_2(x+1))\le 0$ có đúng $9$ nghiệm nguyên?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=20$, mặt phẳng $(P):2x-2y+z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{-1}$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong $(P)$, vuông góc với $d$ và cắt $(S)$ theo dây cung có độ dài lớn nhất. Hỏi $\Delta$ đi qua điểm nào trong các điểm sau?

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=3$, $|z+i\overline{w}|=5$ và $zw$ là một số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|w+i|$ bằng

Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$. Biết hàm $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $y=f\left(\left|x+\frac{m}{x}\right|\right)$ có đúng $6$ điểm cực trị?

Cho hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $|f(x+m)+2|=x$ có đúng $2$ nghiệm phân biệt?

Một viên đá quý có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông cạnh $6\text{ mm}$ và chiều cao $6\text{ mm}$. Nhà chế tác tạo hình cho viên đá quý để gắn vào sản phẩm đã được đặt hàng. Ông cắt viên đá theo các mặt phẳng đi qua tâm của đáy, lần lượt song song với các cạnh đáy và vuông góc với các mặt bên để thu được viên đá hoàn thiện (phần được tô màu xám trong hình vẽ tham khảo bên). Thể tích của viên đá hoàn thiện gần nhất với kết quả nào sau đây?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x\in [0;2024]$ sao cho với mỗi $x$ tồn tại đúng $2$ giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn $2^{x-2y}+8\le 12{\log }_2(x-2y)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $C(0;0;3)$ và hai điểm $A,B$ lần lượt thay đổi trên hai trục $Ox,Oy$ ($A,B$ khác $O$) sao cho $OA+OB=2$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$. Biết rằng $I$ luôn chạy trên các cạnh của một tứ giác cố định, diện tích của tứ giác đó bằng