Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$. Biết hàm $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $y=f\left(\left|x+\frac{m}{x}\right|\right)$ có đúng $6$ điểm cực trị?

Với $m>0$, hàm số chẵn $y=g(|x|)$ với $g(x)=f\left(x+\frac{m}{x}\right)$ ($x>0$) có đúng $6$ điểm cực trị khi và chỉ khi $g(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị dương. Ta có $g^{\prime }(x)=\left(1-\frac{m}{x^2}\right)f^{\prime }\left(x+\frac{m}{x}\right)$. Với $x>0$, $x+\frac{m}{x}\ge 2\sqrt{m}\ge 2>0$, mà từ đồ thị $f^{\prime }(t)$ đổi dấu tại $t=3$ (khi $t>0$). Do đó $g(x)$ có $3$ điểm cực trị dương khi và chỉ khi phương trình $x+\frac{m}{x}=3\iff x^2-3x+m=0$ có hai nghiệm dương phân biệt khác $\sqrt{m}$, tức là $\Delta =9-4m>0\iff m<\frac{9}{4}$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2\}$, có $2$ giá trị. Chọn C.