Cho hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $|f(x+m)+2|=x$ có đúng $2$ nghiệm phân biệt?

Đặt $t=x+m\Rightarrow x=t-m$, phương trình trở thành $|f(t)+2|=t-m\iff \left|\frac{3t-3}{t-2}\right|=t-m$. Xét sự tương giao của đồ thị $(C):y=\left|\frac{3x-3}{x-2}\right|$ và đường thẳng $d:y=x-m$ (có hệ số góc bằng $1$). Để $d$ cắt $(C)$ tại đúng $2$ điểm phân biệt thì $d$ phải đi qua điểm gãy $A(1;0)$ của $(C)$, suy ra $1-m=0\iff m=1$. Vậy có đúng $1$ giá trị nguyên của $m$. Chọn A.